Nació en Chillan – Chile, el 7 de Febrero de 1903. Su padre, el médico oculista Carlos Arrau Ojeda, falleció cuando el niño Claudio tenía un año, debido a un accidente ecuestre. Su madre Lucrecia León, profesora de piano, debió hacerse cargo de la familia. Claudio era el tercero de sus hijos y desde muy pequeño manifestó interés por el piano. Incluso antes de aprender a leer ya conocía el lenguaje musical.

Con 5 años de edad, en 1908, interpretando obras de Mozart, Beethoven, Chopin ofreció su primer recital en Chillán, debiendo utilizar trozos de madera, como zancos para alcanzar los pedales del piano.

Con 7 años, el precoz artista se presentó ante el Presidente de La República Jorge Montt en el Palacio de La Moneda y luego se presentó en el Congreso Nacional haciéndose acreedor, por su talento, a una beca que le permitió estudiar piano en Alemania.

En Alemania la pianista chilena Rosita Renard le presentó al destacado Maestro Martin Krause, quién se preocupó de la formación del joven artista. Esta fructífera relación terminó al fallecer 5 años después el Maestro Krause.
El Premio Liszt declarado desierto por espacio de 45 años lo recibió en forma consecutiva en 2 versiones (1919 – 1920).

Vuelve a Chile a ofrecer un concierto  como profesional en 1921, retornando posteriormente en 1934, 1938, 1939 con recordadas presentaciones en que interpretó obras de Bach, Mozart, Weber, Schubert y Beethoven.

A la edad de 34 años contrae matrimonio con la mezzosoprano Ruth Schneider con quien tuvo 3 hijos.

Con motivo de la II Guerra Mundial emigra a EE.UU en 1941, donde fue reconocido, por sus logros artísticos.

Su primera grabación en un disco de cilindro data de 1922 y en un disco de plataforma en 1927.

Su calidad de intérprete reconocida a nivel mundial quedó demostrada la recibir la Medalla Hans von Bulow en 1980, otorgada por la Filarmónica de Berlín. Por su notable trayectoria el 1982 – 1983 se declaró Año Arras a nivel internacional.

Chile le reconoció con el Premio Nacional de Arte 1983. Recibió otros importantes galardones alrededor del mundo como la Legión de Honor de Francia, Premio de la Música de la Unesco, la Medalla Beethoven de Nueva York, el Grado de Doctor Honoris Causa de la Universidad de Boston y muchas otras.

En 1984, después de exitosas presentaciones en el Teatro Municipal y en la Catedral de Santiago, volvió a su tierra natal donde sus coterráneos le ofrecieron una serie de homenajes.

Falleció en la ciudad austriaca de Murzzuslach el 9 de Junio de 1991.
Cumpliendo su voluntad, descansa en el Parque de las Artes del Cementerio Municipal de Chillan.

Con motivo del Centenario de su natalicio se declaró mediante Decreto Supremo el 2003 como “Año de Arrau”, programándose una serie de actos en su homenaje tanto en Chillán como en el resto del mundo.